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Geschrieben von scr!pTk!d am 08.02.2004 um 21:41:

  Zahlentheorie Summe aufeinanderfolgender Zahlen

Welche natürlichen Zahlen lassen sich nicht als Summe von mehreren aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen darstellen? (Beweis!)

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Geschrieben von Medusa am 08.02.2004 um 22:37:

 

Ich würd auf jeden Fall mal sagen: 0
Beweis:
a+b=0
b=a+1
a+a+1=0 | -1
2a=-1 | :2
a=-0.5
-0.5 ist keine natürliche Zahl

Und dann noch alle geraden Zahlen, denn die zwei Zahlen müssten ja um die Hälfte sein, und wenn man die gerade Zahl durch 2 Teilt, sind die beiden Zahlen net aufeinanderfolgend. Mann müsste die eine um 1 verkleinern und die andere um 1 vergrößern, damits noch stimmt, aber dann wären se au net aufeinanderfolgend.

[edit]
oh, "mehrere"
aber 0 stimmt trotzdem noch

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Geschrieben von LX am 08.02.2004 um 22:50:



Mmh, also ich hab mir eine entsprechende Formel aufgestellt:

y = ax + (a²-a)/2 | a Element von N \ {0}

Dabei ist y die natürliche Zahl, die man prüfen möchte, x die natürliche Zahl, welche den ersten Summanden bildet und a die Anzahl der Summanden.

Mmh, nun kommt man ja dadurch weiter, dass a²-a eine gerade Zahl sein muss, da eine ungerade Zahl dividiert durch 2 ja keine natürliche Zahl mehr ergibt. Dadurch kann man als einziges a aber 1 ausschließen, für alle anderen a ist dieser Summand eine natürliche Zahl... das ist aber eigentlich schon dadurch gegeben, dass die Aufgabe nach "mehreren aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen" spricht.

Naja... aber nu fehlt mir irgendwie der Ansatz, wie man weitermachen kann. *g

Vielleicht hat jemand anders damit mehr Erfolg.

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Geschrieben von scr!pTk!d am 09.02.2004 um 14:24:

 

Zitat:

Original von Medusa Ich würd auf jeden Fall mal sagen: 0 Beweis: a+b=0 b=a+1 a+a+1=0 | -1 2a=-1 | :2 a=-0.5 -0.5 ist keine natürliche Zahl Und dann noch alle geraden Zahlen, denn die zwei Zahlen müssten ja um die Hälfte sein, und wenn man die gerade Zahl durch 2 Teilt, sind die beiden Zahlen net aufeinanderfolgend. Mann müsste die eine um 1 verkleinern und die andere um 1 vergrößern, damits noch stimmt, aber dann wären se au net aufeinanderfolgend. [edit] oh, "mehrere" aber 0 stimmt trotzdem noch

Nunja, 0 ist ja trivial, da jedes n € N > 0. Zu den geraden Zahlen: Was ist z.B. mit 6 = 1 + 2 +3? Wie du richtig erkannt hast darf die Summe aus beliebig endlich vielen Summanden bestehen.

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Geschrieben von LX am 09.02.2004 um 14:44:



Also mittlerweile glaube ich herausgefunden zu haben, dass 2^n nicht als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellbar ist. Nun liegt's nur noch daran, das zu beweisen.

Demnach müsste man beweisen, dass eine der folgenden 2 Formeln falsch ist:

(2ax + a² - a)/2 = 2^n

oder eben
2ax + a² - a = 2^k

Wie man das allerdings beweisen kann... *schulterzuck*

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Geschrieben von scr!pTk!d am 11.02.2004 um 19:29:

 

Mit deiner Vermutung, dass natürliche Zahlen der Form 2^n nicht als Summe von mehreren aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen dargestellt werden können liegst du richtig. Der Beweis ist nicht sonderlich schwierig:

Jede Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen hat stets die Darstellung:
n+(n+1)+(n+2)+...+(n+d-1)
Somit ergibt sich der Wert der Summe als explizite Darstellung dieser arithmetischen Reihe:
S = n*d + (d-1)d/2
Nach der Hypothese müsste also:
2^k = n*d + (d-1)d/2 <==> 2^k+1 = d(2n+d-1)
Ist nun d eine gerade Zahl, so ist (2n+d-1) eine ungerade Zahl, und folglich d(2n+d-1) keine Zahl der Form 2^p, da eine Zahl der Form 2^p kein Produkt einer gerade und ungeraden Zahl sein kann. Ist d ungerade, so ist (2n+d-1) gerade und folglich d(2n+d-1) keine Zahl der Form 2^p.
Also lassen sich Zahlen der Form 2^n nicht als Summe von mehreren aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen darstellen.
W.z.b.w.

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Geschrieben von LX am 11.02.2004 um 20:22:

 

Verdammich... die Formeln hatte ich beide schon, und ich hatte auch schon gegrübelt mit geraden und ungeraden Zahlen... der Sprung dazu, dass 2^k aber net als Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl darstellbar ist, der ist mir aber net eingefallen

Naja, hätte ich mal den Ansatz doch weiter verfolgen sollen.