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Geschrieben von Antiheld am 25.09.2005 um 19:27:

  Vektoren Ebene-Gerade

Hallo,

Ich hab da ein Problem mit einer Matheaufgabe zum Thema Vektoren, allerdings bin ich mir nicht sicher ob dass was ich schon habe richtig ist und auch nicht wirklich sicher bin wie es weiter gehen soll mit den Aufgaben.
Naja, schaut mal selbst:

Ein in Richtung Vektor a = Vektor -e Index z durch den Punkt P1 (1|2|4) im Medium M1 verlaufender Lichtstrahl wird an der Ebene E(A,B,C) mit A(1|1|0), B(1|0|-1) und C(0|1|-1) gebrochen und verläuft im Medium M2 durch den Punkt P2(2|3|-3).

a)Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E sowie einen Normalvektor dieser Ebene.
(Mögliches Zwischenergebnis: Vektor n = (1|1|-1). )

b) Wo und unter welchem Winkel trifft der Lichtstrahl auf die Ebene E?
(mögliches Zwischenergebnis: S(1|2|1) und Alpha = 35.26°.)

c) Wie groß ist der "physikalische Einfallswinkel" Alpha 1 (=Winkel zwischen dem Lichtstrahl und der Normalen von E)?

d)Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, längs der der "gebrochene Lichtstrahl" im Medium M2 verläuft sowie den "Brechungswinkel" alpha2 (=Winkel zwischen dem gebrochenen Lichtstrahl und der Normalen von E)!

e) Zeigen Sie, dass für den Brechungsindex n gilt: n = sin alpha1 / sin alpha2 = Wurzel 2.

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Geschrieben von Stereotyp am 25.09.2005 um 19:58:

 

also deine ersten Werten hauen soweit hin... achso zu c) das müsste einfach 90° - dein Winkel sein

so d) ist genauso groß wie dein Winkel (35°).. und dann kommt bei e) auch Wurzel 2 als Verhältnis raus

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Geschrieben von Antiheld am 25.09.2005 um 20:01:

 

Achso, ja. Die "möglichen Zwischenergebnisse" stehen auf dem Aufgabenblatt. Wobei ich bei a) auch das Ergebnis raus hab

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Geschrieben von Stereotyp am 25.09.2005 um 20:05:

 

brauchst du also auch die Lösungswege??

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Geschrieben von Antiheld am 25.09.2005 um 20:06:

 

Jepp, das währe nett

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Geschrieben von Stereotyp am 25.09.2005 um 20:07:

 

b) dazu musste die Ebenengleichung mit der Geradegleichung gleichsetzen. Am besten macht sich in dem Fall die Punktrichtungsform (oder wie das heißt )
Die Ebenengleichung ist:
Punkt 1 + a*(Punkt 2 - Punkt 1) + b*(Punkt 3 - Punkt 1)
Die Geradegleichung ist:
Punkt P1 + c*Vektor in z-Richtung (also 0|0|1)
wenn du die gleichsetzt haste ein System mit drei GLeichungen und drei Unbekannten... für c bekommste -3 raus... das setzte in die Geradegleichung ein und hast den Punkt an dem sich Gerade und Ebene schneiden!

Den Winkel bekommst du indem du das Kreuzprodukt aus einem beliebigen Vektor, der parallel zur Ebene (0|1|1) liegt und dem Vektor in z-Richtung bildest. Davon den Betrag geteilt durch die Beträge der einzelnen Vektoren. Dann noch den inversen Sinus und fertig... ich Gleichungsform sieht das so aus:
|a x b|=|a|*|b|*sin(eingeschlossener Winkel)

c) ist das gleiche nochmal mit dem Normalenvektor den wir schon aus a) kennen.. da aber der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht, kann man sich die Rechnung sparen, denn der gesuchte Winkel ist 90°-35,26°

d) hier brauchen wir noch den Vektor des gebrochenen Strahls:
Schnittpunkt Ebene-ungebrochener Strahl - Punkt P2 = gesuchter Vektor
nu wieder die Gleichung von oben angewandt und man bekommt 35,26° raus

e) ist jetzt nur noch einsetzen... oder du siehst es schon anhand der Ergebnis in c) und d) weil man da einmal Wurzel(2/3) und einmal Wurzel(1/3) rausbekommt bevor man den inversen Sinus bildet

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Geschrieben von Antiheld am 25.09.2005 um 20:57:

 

Zitat:

wenn du die gleichsetzt haste ein System mit drei GLeichungen und drei Unbekannten... für c bekommste -3 raus

Das bitte nochmal im Detail, ich weiß zwar das -3 richtig sein muss, allerdings bekome ich was anderes raus

Auf jeden Fall schonmal Danke für die Hilfe

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Geschrieben von Stereotyp am 25.09.2005 um 23:10:

 

also du solltest die folgenden Gleichungen aufgestellt haben:
1+a*0+b*1=1+c*0
1+a*1+b*0=2+c*0
0+a*1+b*1=4+c*1

also 1+a=2 => a=1
und 1+b=1 => b=0

einsetzen in a+b=4+c => c=-3