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Geschrieben von grandmaster S am 04.03.2006 um 16:08:

  Analytische Geometrie Kugel

Wie kann ich beweisen, dass vier oder mehr gegebene Punkte auf einer Kugel liegen? Ich weiß, dass 4 Punkte immer auf einer Kugel liegen, wenn jeweils 3 davon nicht auf einer Geraden liegen und wenn die 4 Punkte nicht in einer Ebene liegen. Aber wie kan nich beweisen, dass das so ist. Also, dass dies der Grund dafür ist.
Vielen Dank schonma, im voraus.

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Geschrieben von Compuholic am 05.03.2006 um 02:16:

 

Hab da so eine Idee. Die ist zwar ein wenig kompliziert aber funktionieren müßte es auch so. Es geht aber bestimmt auch einfacher.

Ich nehme, mal den 2-dimensionalen Fall: Wenn 3 Punkte nicht auf einer Gerade liegen, dann liegen sie automatisch auf einem Kreis. Die Argumentation mit einer Kugel ist vollkommen analog:

Wenn 3 Punkte auf einem Kreis liegen, dann gibt es einen Punkt von dem alle den gleichen Abstand haben. Oder anders ausgedrückt: Es läßt sich für jeden dieser Punkte ein Vektor finden, der, wenn er mit dem Punkt addiert wird auf einen Punkt im Raum zeigt.

Also, wenn v1 != v2 != v3 != v1 die drei gegebenen Punkte sind und R ein Punkt im Raum, muß gelten:

v1 + x1 = R oder x1 = R - v1
v2 + x2 = R oder x2 = R - v2
v3 + x3 = R oder x3 = R - v3

Wie man sehen kann ist sind x1, x2, x3 eindeutig bestimmt, da R und v1,v2,v3 gegebene Werte sind. Das ändert sich aber, wenn die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Dann läßt sich nämlich jeder Punkt durch die beiden anderen ausdrücken. z.B.

v1 = a*(v2 - v3)
...

Wenn wir das in unsere Gleichungen von oben einsetzen erhalten wir z.B. folgendes:

x1 = R - a*(v2 - v3)
...

Damit haben wir keine eindeutig bestimmte Lösung mehr. Denn wir hätten dann ein Gleichungssystem mit 4 Variablen aber nur 3 Gleichungen. Wenn wir die Ergebnisse z.B. für x1 geometrisch deuten, hätten wir eine Parallele zu der Geraden auf der v2 und v3 liegen.

Für einen kompletten Beweis, müßte man auch noch nachweisen, daß x1,x2 und x3 den gleichen Betrag haben. Das kann aber u.U. häßlich werden. Vielleicht fällt ja jemand ein intelligenterer Lösungsweg ein.

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Geschrieben von Stereotyp am 05.03.2006 um 09:45:

  RE: Analytische Geometrie Kugel

Zitat:

Original von grandmaster S Ich weiß, dass 4 Punkte immer auf einer Kugel liegen, wenn jeweils 3 davon nicht auf einer Geraden liegen und wenn die 4 Punkte nicht in einer Ebene liegen.

Die Formulierung ist doch doppelt gemoppelt. Falls drei Punkte auf einer Gerade liegen, liegt auch der 4. sicher in einer Ebene zu den drei anderen. Die zweite Aussage ist damit schon genug.

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Geschrieben von grandmaster S am 05.03.2006 um 13:17:

 

Aber wenn die Vier Punkte auf einer Ebene Liegen, können sie auch auf einer Kugel liegen.

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Geschrieben von Stereotyp am 05.03.2006 um 16:32:

 

stimmt

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Geschrieben von grandmaster S am 05.03.2006 um 16:48:

 

Okay, dann liegen alle 4 Punkte immer auf einer Kugel, wenn nicht drei von ihnen eine Gerade bilden. Aber irgendwie ist diese Antwort unbefriedigend.

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Geschrieben von Compuholic am 07.03.2006 um 13:38:

 

Ich habe mir gerade noch mal meine Rechnung angesehen und festgestellt, daß sie totaler Schwachsinn ist. Das kommt davon, wenn man um 2 Uhr morgens zu rechnen anfängt

Das einzige, was obige Rechnung zeigt, ist, daß man einen Differenzvektor finden kann, zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und den gegebenen Punkten. Das ist ja nicht wirklich eine tiefsinnige Erkenntnis. Die Schlussfolgerung, daß das mit drei aufeinanderliegenden Punkten nicht geht ist dann natürlich ebenso schwachsinnig. Ich habe den Fehler gemacht, daß ich a nicht als Konstante angesehen habe. Dann haben wir nämlich keine Geradengleichung sondern ein Gleichungssystem mit einer eindeutigen Lösung.

Also vergeßt, was ich in meiner Umnachtung für einen Blödsinn verzapft habe. Hier die verbesserte Version (zu normaler Tageszeit):

Wir müssen zeigen, daß der Betrag der Differenz zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und eines jeden Punkte gleich ist. Dazu nehmen wir die normierten Differenzvektoren e1, e2, e3. Dann gilt:

r1 * e1 = x1
r2 * e2 = x2
r3 * e3 = x3

wobei rX ein Skalar und xX der Differenzvektor ist. Wenn man nun die Differenzvektoren auf die Punkte draufaddiert bekommt man den Mittelpunkt des Kreises.

v1 + r1*e1 = M
v2 + r2*e2 = M
v3 + r3*e3 = M

Dann lösen wir z.B. die erste Gleichung nach r1 auf. Dann steht da:
r1 = (M - v1) / e1

Damit haben wir aber ein Problem, weil die Vektordivision im allgemeinen nicht definiert ist. In diesem Fall aber macht es Sinn das Ergebnis der Division als Skalar anzusehen (wie oft passt der eine Vektor in den anderen rein). Warum das in diesem Fall sinnvoll ist, kann man sehen, wenn man sich klarmacht, daß das Ergebnis von M - v1 wieder ein Vielfaches von e1 ist.

Denn a*e1 = x1 (haben wir ja oben so festgelegt)

Weil wir uns die Vektordivision so definiert haben können wir jetzt alle Gleichungen nach rX auflösen und gleichsetzen. (Skalare lassen sich ja ohne Probleme so behandeln)

(M - v1) / e1 = (M - v2) / e2

diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn |v1| = |v2| ist. Das Gleiche kann man auch mit v2 und v3 machen und man bekommt |v2| = |v3| und damit den Beweis, daß es einen Punkt M gibt von dem alle Punkte v1, v2, v3 den gleichen Abstand haben.

Diese Lösung gefällt mir aber noch nicht wirklich, weil ich um darauf zu kommen mir einfach eine neue Verknüfung definieren mußte. Streng genommen müßte man auch noch beweisen, daß man das in diesem Fall sinnvoll ist. Aber ich denke, daß das in diesem Fall offensichtlich ist.