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Geschrieben von Compuholic am 10.05.2006 um 20:02:

  Probleme mit DGL

Ich habe mal wieder ein mathematisches Problem.

Ich versuche gerade eine Differentialgleichung für den freien Fall mit Luftreibung aufzustellen und zu lösen, aber da gibt es ein paar Ungereimtheiten. Ich komme grad nicht drauf, was das Problem ist.

Ich setze folgendermaßen an:
F = m*a = m*x''
F = (Fg - Fr) Wobei Fg die Gewichtskraft und Fr die Reibungskraft der Luft ist. Fg läßt sich schreiben als m*g. Ich unterstelle einfach einmal, daß die Luftreibung linear von der Geschwindigkeit abhängt, also Fr = k*x'

Dann ergibt sich für mich folgende DGL:
m*g - k*x' = m*x''
Wenn ich die Gleichung umstelle, habe ich eine inhomogene DGL 2. Ordnung:
m*x'' + k*x' = m*g

Zuerst will ich die homogene Lösung finden. Dazu der Ansatz x(t)=exp(a*t). Dann gilt x'(t)=a*exp(a*t) und für x''(t)=a^2*exp(a*t). Wenn ich das in die homogene Gleichung einsetze und Kürze steht da:
a^2*m + a*k = 0

Das löse ich mit der quadratischen Lösungsformel a1 = -k/m und a2 = 0

Damit möchte ich gerne die allgemeine Lösung berechnen, die sich ja aus der Linearkombination der Einzellösungen zusammensetzt:

x(t) = A*exp(-t*k/m) + B
x'(t) = -A*k/m*exp(-t*k/m)

Wenn ich jetzt aus den Anfangsbedingungen t=0 für x'=0 (Geschwindigkeit = 0) und x=0 A und B berechnen möchte kommt für raus, daß A=B=0 ist, und das kann ja wohl kaum sein. So kann ich ja nicht weiterrechnen, aber ich komme gerade auch nicht drauf, wo jetzt mein Fehler liegt.

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Geschrieben von Stereotyp am 11.05.2006 um 09:27:

 

müsstest du nicht annehmen, dass bei t=0 wenigstens A ODER B ungleich null sind, also dass man in einer gewissen Höhe startet oder aber eine Geschwindigkeit hat... falls beides nicht erfüllt ist, kann doch nix passieren!? An deiner Rechnung kann ich sonst nichts auffälliges finden... vermutlich hätte ich einen sinus- oder cosinus-Ansatz gewählt, aber es scheint ja mit dem e-Ansatz zu funktionieren

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Geschrieben von Compuholic am 11.05.2006 um 10:46:

 

Ich verstehe nicht ganz, wie Du das meinst. Es ergibt sich ja aus dem Gleichungssystem

x(t) = A*exp(-t*k/m) + B
x'(t) = -A*k/m*exp(-t*k/m)

daß A und B gleich Null sein müssen, wenn ich die Anfangsbedingungen x=0 und x'=0 für t=0 wähle. Und meiner Meinung sind das ja keine falschen Annahmen. Die Startposition müßte ich ja beliebig wählen können, also setze ich sie der Einfachheit halber auf x=0 (Wenn ich einen anderen Urprung wähle, dann wird B zu diesem Wert) und die Startgeschwindigkeit ist ja gleich null.

Was sinnvolles kommt nur raus, wenn ich sowohl x und x' ungleich Null wähle

[edit]Jetzt ist mir auch klar, warum nur was Sinnvolles rauskomme, wenn ich x' ungleich Null wähle. Ich habe ganz übersehen, daß ich ja nur die homogene Lösung betrachte, also keine äußeren Kräfte. Naja, und wenn ein Körper keine Anfangsgeschwindigkeit hat, keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken und auch die Urspungsposition 0 ist, dann wird sich der Körper auch nie davon wegbewegen.