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Geschrieben von Cpt.Miller am 23.10.2006 um 18:00:

  Rekonstruktion von f(x)

Hi Leute,

ich muss eine Rekonstruktionsaufgabe lösen, doch da fehlen mir leider irgendwie die Ideen und wollte hier euch bitten vielleicht wenn ihr Zeit & Lust habt mir die Aufgabe vorzurechnen, damit ich vielleicht den Prozess irgendwie verstehen kann. Wenn ihr noch extra viel Zeit habt, dürft ihr auch gerne kommentieren

"Der Graph einer quadratischen Funktion f geht durch die Punkte A(0;0) und B(4;0). Er schließt mit der x-Achse eine Fläche A mit dem Inhalt 8/3 ein. Sein Extremum liegt im ersten Quadranten. Wie lautet die Funktionsgleichung von f?"

Mein Ansatz:
I. ax^2+bx+c
II. f'(x) = 2ax+b --- f'(0) > 0
III. A(0;0), B(4;0) --> f(0) = 0 und f(4) = 0
IV. Int(f(x)dx) = 8/3

Zu I. und 3)
f(x) = ax^2+bx+c
f(0) = 0
0 = a*0+b*0+c => c = 0
f(4) = 0
0 = 16a + 4b

Zu II.)
f'(x) = 2ax+b
f'(0) > 0

Doch leider komme ich nicht weiter. Vielleicht kann ja jemand helfen .

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Geschrieben von Black Star am 23.10.2006 um 19:34:

 

Man muss ein bisschen nachdenken, um das Integral richtig benutzen zu koennen.

f(0)=0 und f(4)=0 verraet dir die Nullstellen, d.h. die Integral-Grenzen.
Dass das Extremum im 1. Quadranten liegt, verraet dir wierum die Parabel geoeffnet ist. In dem Fall nach unten.

Jetzt berechnest du einfach das Integral von 0 bis 4 ueber f(x) und benutzt noch
f(0) = 0 => c = 0
f(4) = 0 => b = -4a

Also
Int[a x^2 - 4a x, {x,0,4} ] = a/3 x^3 - 2a x = 64/3 a - 32 a = 8/3
=> -32a = 8
=> a = -1/4
=> f(x) = -1/4 x^2 + x

Dann nochmal die 4 Bedingungen gegenchecken -> fertig.

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Geschrieben von Cpt.Miller am 23.10.2006 um 20:35:

 

Hi Black Star!

Erstmal danke für deine Hilfe!

Doch leider sind mir deine letzten Rechnungen nicht ganz schlüssig:
1. müsste doch die Stammfunktion F(x) = a/3 * x^3 - 2x^2 sein oder?
Vielleicht hast du einfach das Quadrat vergessen oder ich bin wieder auf dem Holzweg.

Wie dem auch sei, ich habs nun dank deiner Hilfe raus!
Vielen Dank .

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Geschrieben von Black Star am 24.10.2006 um 01:34:

 

Noe, das Quadrat fehlt
Kommt ja auch nicht hin ohne.