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Vektor V ist als V=(B+C) definiert

wir wissen dass A,B,C linear unabhängig sind.
Wenn man V aus U und W bilden kann, sind die Vektoren U,V,W linear 
abhängig.
Beweis durch Widerspruch:

V=(B+C)

Könnte man V aus W und/oder U bilden, wäre V nicht unabhängig und damit 
wäre auch die Vektoren nicht linear unabhängig.

B+C=x(A+B)+y(A+C)
 <=> B+C=xA+yA+xB+yC

da B linear unabhängig von A,C ist, lässt sich B nicht als kombination aus 
yA+yC oder xA+xB  darstellen, jedoch durch xB oder yA+xB (oder yC+xB) 
wenn y=0 gewählt wird.
da C linear unabhängig von A,B ist, lässt sich C nicht als kombination aus 

xA+xB,yA+yC oder yA+xB darstellen, jedoch durch yC oder yC+xA (für x=0) 
oder yC+xB (für x=0).


Das heißt aber, um B+C als kombination aus xA+yA+xB+yC darstellen zu 
können, müssen sowohl x wie auch y gleich 0 sein. Nur kommt dabei der 
Nullvektor raus und nich B+C - ergo Widerspruch. Somit gilt die Lineare 
unabhängigkeit auch für U,V,W

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Überlegung: Linear unabhängig heißt ja: a1A+a2B+a3C=0 (Nullvektor) nur 
wenn a1 bis a3 =0 (siehe Wiki Definition)

Wären also U+V+W linear abhängig könnte man damit einen Nullvektor 
bilden:

a1*U+a2*V+a3*W=0

wobei a1..a3 dann irgend ein Koeffizient ungleich 0 ist (statt a1 bis a3 kann 
man auch die gamma/lambda Bezeichner wählen ;))


a1*U+a2*V+a3*W=0 kann umgeschrieben werden in:
(da U=A+B ist, V=B+C usw)
a1*(A+B)+a2*(B+C)+a3(A+C)=0
oder:
a1*A+a1*B+a2*B+a2*C+a3*A+a3*C=0

Wir wissen dass A,B,C linear unabhängig sind, somit kann man hier den
 Nullvektor nur bilden, wenn man die Koeffizienten so wählt, dass ein Vektor 
mit seiner Inversen addiert wird (-A+A=0).

also erstmal umordnen:

 a1*A+a1*B+a2*B+a2*C+a3*A+a3*C=0
<=>
a1*A+a3*A+a1*B+a2*B+a2*C+a3*C=0

a1A+a3A, a1B+a2B, a2C+a3C müssen  0 ergeben, da sonstige 
Kombinationen nicht möglich sind (denn A,B,C sind als linear unabhängig 
definiert - also kann man auch keine Koeffizienten ungleich 0 wählen, so dass 
xA+yB=0 sind, damit brauchen wir auch nur die oben erwähnten Paare zu 
betrachten.)

1)a1A+a3A            <- kann nur dann Nullvektor ergeben, wenna3=-a1 

dann ist nämlich xA+(-xA)=Nullvektor.

2)a1B+a2B <-kann nur dann Nullvektor ergeben, wenn a2=-a1

3)und schließlich a2C+a3C kann nur Nullvektor ergeben, wenn a3=-a2

Also a3=a2 (laut (1) und (2)) aber gleichzeitig auch a3=-a2
=> Wiederspruch.

Wir können auch nicht einfach a2=0 setzen, da dann auch a1 und a3 Null sind.

Somit können wir keine Koeffizienten ungleich 0 wählen um 

a1A+a1B+a2B+a2C+a3A+a3C=0

zu erhalten.

und da
a1A+a1B+a2B+a2C+a3A+a3C äquvalent zu a1U+a2V+a3W

gilt diese Aussage auch für a1*U+a2*V+a3*W=0. 
Damit wären U+V+W linear unabhängig.