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Schnittmenge zweier Zylinder

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LX' Ex-Mitbewohner

Dabei seit: 03.01.2005
Beiträge: 600
Herkunft: Made in Mamas Bauch

Schnittmenge zweier Zylinder

Okay, ich geh nicht mehr in die Schule und die Aufgabe muss ich auch nicht unbedingt lösen, aber interessieren würde es mich schon und ich grüble schon seit gestern?! (Falls es zu leicht ist, hab' ich auch noch ein anderes Problem parat

)

Es geht darum das Volumen zweier senkrecht ineinander gestellter Zylinder gleicher Abmessung zu berechnen! Die beiden Achsen der Zylinder schneiden sich natürlich ... wir wollen es nicht schwerer machen, als nötig ^^ (Ich hoffe jeder kann sich das Problem vorstellen, ansonsten nochmal nachfragen!)

Wie mache ich das und wie groß ist das Volumen? (Nur der Radius scheint entscheidend zu sein ... wer also unbedingt eine Zahl zum Rechnen braucht ... sagen wir mal der Radius der Zylindergrundfläche beträgt 1)

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20.01.2005 17:54

Black Star

Der Pate [Admin]

Dabei seit: 11.12.2001
Beiträge: 2.282
Herkunft: /dev/stderr

Also das ist jetzt mein Loesungsweg ohne jegliche Gewaehr...

Die beiden Zylinder liegen in einem Wuerfel Kantenlaenge 2R mit ihren Achsen auf der x und der z Achse.
Dann gucke ich mir den durchstochenen Zylinder in der x-y Ebene an und bestimme die Flaeche zunaechst fuer z=0 zum verstehen (Bild II und Gl 1)
Dann ueberlege ich mir den Flaecheninhalt eines Quadranten wenn ich mit z hochgehe.
Weil z scheisse zum Rechnen ist, gehe ich im Bogen Phi von 0 bis Pi/2.
z = Rsin(phi)
=> dz = Rcos(phi)
Die Flaeche in einem Qudranten ist dann Rcos(phi) * R - das Kreisstueck - das Dreieck (Bild IV)
Das Kreisstueck ist alpha/2Pi * Pi*R^2
Das Dreieck ist 1/2*Rcos(alpha)*Rsin(alpha)
alpha = arcsin(cos(phi))

Damit sind wir durch, das Volumen eines 1/8 Zylinders ist dann das Integral von Aphi ueber z, also Aphi * R * cos(phi) dphi (Gleichung 3)

Das Gesammtvolumen ist dann 8 mal 1/8Volumen + das Volumen eines ganzen Zylinders.

PS:
Das Integral habe ich unverschaemterweise vom Computer ausrechnen lassen, also zerbrecht euch nicht den Kopf darueber - Ich habe auch keine Ahnung, wie man cos^2(phi)*cos(arcsin(cos(phi)) oder die anderen integriert.

EDIT:
In Bild III sieht man die y-z Ebene und nicht die x-z, falls ihr euch gewundert hat.
Das macht aber garnix.

Dateianhänge:

1.jpg (126 KB, 76 mal heruntergeladen)
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mathematica.jpg (92,37 KB, 62 mal heruntergeladen)

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vescere bracis meis

21.01.2005 15:08

Black Star

Der Pate [Admin]

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Also mittlerweile bin ich mir meiner Loesung etwas sicherer, habe den Wuerfel in 100^3 Teile diskretisiert und die Loesung fuer das Volumen approximiert, und das Ergebniss passt bei R=1 auf den ersten beiden Nachkommastellen.

Gerade laeuft ein Test mit anderen Radien. n=1000 wollte ich dem Computer meiner Mutter dann doch nicht zumuten.

Dateianhang:

mathematica.jpg (66 KB, 46 mal heruntergeladen)

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vescere bracis meis

22.01.2005 19:56

Stereotyp

LX' Ex-Mitbewohner

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Beiträge: 600
Herkunft: Made in Mamas Bauch

Themenstarter

Zitat:

Original von Black Star

Das Gesammtvolumen ist dann 8 mal 1/8Volumen + das Volumen eines ganzen Zylinders.

Dein Lösungsweg scheint erstmal richtig zu sein, allerdings wollte ich die Schnittmenge der beiden Zylinder ... mir scheint es so, als ob du das Volumen, das die beiden Zylinder innerhalb eines Würfels mit Radius 2 einnehmen berechnet hast!
Müsste man nicht vielmehr deinen berechneten Wert von dem Gesamtvolumen eines Zylinders abziehen? Oder braucht man sogar einen neuen Ansatz ...

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23.01.2005 10:55

Black Star

Der Pate [Admin]

Dabei seit: 11.12.2001
Beiträge: 2.282
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Du nimmst einen ganzen Zylinder her und ziehst 8 mal V1/8 ab.
Das 8*V1/8 muesste genau das Volumen des durchstochenen Zylinders sein, das ausserhalb des Schnitts liegt.

Ich kann aber gleich meine numerische Rechnung anpassen und nochmal ausprobieren. Bin jetzt aber erstmal weg,

EDIT:
Jo, passt.

5.3333 fuer die analytische Loesung, 5.33894 fuer die numerische bei n=100 und R=1.

16R^3/3 kommt raus als Loesung.

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vescere bracis meis

Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert, zum letzten Mal von Black Star: 23.01.2005 13:36.

23.01.2005 12:16

Stereotyp

LX' Ex-Mitbewohner

Dabei seit: 03.01.2005
Beiträge: 600
Herkunft: Made in Mamas Bauch

Themenstarter

dann is deine lösung aber viel zu kompliziert

ich hab hier ein einfaches integral stehen, mit dem man auch auf 5,333... kommt ... hatte ich schon gestern ausgerechnet aber dann war ich beschäftigt deine Lösung zu verstehen und dachte meine wäre falsch

bei Gelegenheit kann ich dir den Lösungsweg ja mal im IRC erläutern ... ist wirklich nicht schwer

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23.01.2005 16:21

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