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[Vektoren] lineare Abhängigkeit |
inde
the r33l !n[)3
Dabei seit: 14.09.2003
Beiträge: 267
Herkunft: von da wo ihr nie hinwollt...
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[Vektoren] lineare Abhängigkeit |
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Hallo Mathecracks im BB!
Ich sitz hier gerade vor ner Hausaufgabe und bin am verzeifeln. Muss dazu sagen wir haben sie vor den Ferien aufbekommen und ich hab mir Zeit gelassen und nun hab ich keinen blassen schimmer wie ich überhaupt vorgehen soll.
Also:
Die Vektoren A, B, C (ich schreib jetzt mal Vektoren einfach groß) sind linear unabhängig. Was das heißt versteht ich.
Aufgabe: Untersuche U, V und W auf lineare Abhängigkeit:
U = (A+B) ; V = (B+C) ; W = (A+C)
Was bitte wollen die das ich tue?
__________________ MfG
the r33l !n[)3 [ http://www.indetonation.de ]
Durch Frauen wird immer alles nur noch schwieriger!
Odysseus (in "Troja")
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06.11.2006 21:49 |
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Ganz einfach:
A+B = µ*(B+C) + lambda*(A+C)
Daraus erhälst du ein Gleichungssystem. Kannst du dieses GLS lösen ist es bewiesen, dass diese Vektoren linear abhängig sind.
__________________ Ich widme meinen Beitrag der (2^30402457)-1, weil sie vor wenigen Wochen als größte Primzahl aus dem Meer der Zahlen auftauchte.
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06.11.2006 22:00 |
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inde
the r33l !n[)3
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Themenstarter
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Danke erstmal... also ich war vorhin bei
0 (nullvektor) = (gamma)*(A+B) + (lambda)*(B+C) + µ*(A+C)
Is ja dem schon ähnlich was du gesagt hast. Ich steh grad vollkommen auf dem Schlauch, also wie bilde ich dann das GLS daraus? (OMG, ich hab mir alles weggesoffen!)
__________________ MfG
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Odysseus (in "Troja")
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06.11.2006 22:12 |
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Aus der Gleichung Zeile für Zeile auslesen und als drei Gleichungen mit drei Unbekannten sehen. Also alle obersten Zahlen aus dem Vektor wären dann die erste Gleichung usw. usf.
__________________ Ich widme meinen Beitrag der (2^30402457)-1, weil sie vor wenigen Wochen als größte Primzahl aus dem Meer der Zahlen auftauchte.
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06.11.2006 23:06 |
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inde
the r33l !n[)3
Dabei seit: 14.09.2003
Beiträge: 267
Herkunft: von da wo ihr nie hinwollt...
Themenstarter
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Hm okay, also dann weiß ich was du meinst... das problem ist dass die Vektoren lediglich als A B und C dastehen, keine angaben zu den Koordinaten.
__________________ MfG
the r33l !n[)3 [ http://www.indetonation.de ]
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06.11.2006 23:41 |
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Vapour Kitey
tappt im Dunkeln
Dabei seit: 23.12.2005
Beiträge: 132
Herkunft: ungewiß
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Wenn du keine Angabe zu den Koordinaten hast, kannst du das nicht weiter auflösen. Du könntest natürlich mit
0=gamma*(A1+B1)+lambda*(B1+C1)+µ*(A1+C1)
0=gamma*(A2+B2)+lambda*(B2+C2)+µ*(A2+C2)
0=gamma*(A3+B3)+lambda*(B3+C3)+µ*(A3+C3)
theoretisch weiterrechnen, das vielleicht irgendwie nett umstellen (z.B. nach A auflösen), aber da es beliebige Vektoren sind, kann man keine Aussage über die lineare Abhängigkeit treffen.
Die erste Antwort A+B=µ*(B+C)+lambda*(A+C) ist übrigens genau das gleiche wie dein Ansatz mit dem gamma. Hier wurde nur der erste Term auf die andere Seite geholt und lambda und µ durch (-gamma) geteilt wurden. Da du diese griechischen Dinge aber eh durch einsetzen ausrechnest, ist es für den Test egal wie sie anfangs definiert waren.
__________________ <FresherAl> There is no denying that people buying drugs fund criminals, who generally aren't very nice people and don't deserve the money.
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07.11.2006 09:15 |
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CDW
eine Simulation
Dabei seit: 12.10.2002
Beiträge: 1.329
Herkunft: CreateRemoteThread
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Hm, meine LA Zeit ist schon seit 4 Monaten vorbei, aber ich würde einfach versuchen so anzusetzen:
Die Rechenregeln und die Definition ausnuten.
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Vektor V ist als V=(B+C) definiert
wir wissen dass A,B,C linear unabhängig sind.
Wenn man V aus U und W bilden kann, sind die Vektoren U,V,W linear
abhängig.
Beweis durch Widerspruch:
V=(B+C)
Könnte man V aus W und/oder U bilden, wäre V nicht unabhängig und damit
wäre auch die Vektoren nicht linear unabhängig.
B+C=x(A+B)+y(A+C)
<=> B+C=xA+yA+xB+yC
da B linear unabhängig von A,C ist, lässt sich B nicht als kombination aus
yA+yC oder xA+xB darstellen, jedoch durch xB oder yA+xB (oder yC+xB)
wenn y=0 gewählt wird.
da C linear unabhängig von A,B ist, lässt sich C nicht als kombination aus
xA+xB,yA+yC oder yA+xB darstellen, jedoch durch yC oder yC+xA (für x=0)
oder yC+xB (für x=0).
Das heißt aber, um B+C als kombination aus xA+yA+xB+yC darstellen zu
können, müssen sowohl x wie auch y gleich 0 sein. Nur kommt dabei der
Nullvektor raus und nich B+C - ergo Widerspruch. Somit gilt die Lineare
unabhängigkeit auch für U,V,W
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Version2 (im Prinzip wohl dasselbe, finde ich aber schlüssiger
).
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Überlegung: Linear unabhängig heißt ja: a1A+a2B+a3C=0 (Nullvektor) nur
wenn a1 bis a3 =0 (siehe Wiki Definition)
Wären also U+V+W linear abhängig könnte man damit einen Nullvektor
bilden:
a1*U+a2*V+a3*W=0
wobei a1..a3 dann irgend ein Koeffizient ungleich 0 ist (statt a1 bis a3 kann
man auch die gamma/lambda Bezeichner wählen ;))
a1*U+a2*V+a3*W=0 kann umgeschrieben werden in:
(da U=A+B ist, V=B+C usw)
a1*(A+B)+a2*(B+C)+a3(A+C)=0
oder:
a1*A+a1*B+a2*B+a2*C+a3*A+a3*C=0
Wir wissen dass A,B,C linear unabhängig sind, somit kann man hier den
Nullvektor nur bilden, wenn man die Koeffizienten so wählt, dass ein Vektor
mit seiner Inversen addiert wird (-A+A=0).
also erstmal umordnen:
a1*A+a1*B+a2*B+a2*C+a3*A+a3*C=0
<=>
a1*A+a3*A+a1*B+a2*B+a2*C+a3*C=0
a1A+a3A, a1B+a2B, a2C+a3C müssen 0 ergeben, da sonstige
Kombinationen nicht möglich sind (denn A,B,C sind als linear unabhängig
definiert - also kann man auch keine Koeffizienten ungleich 0 wählen, so dass
xA+yB=0 sind, damit brauchen wir auch nur die oben erwähnten Paare zu
betrachten.)
1)a1A+a3A <- kann nur dann Nullvektor ergeben, wenna3=-a1
dann ist nämlich xA+(-xA)=Nullvektor.
2)a1B+a2B <-kann nur dann Nullvektor ergeben, wenn a2=-a1
3)und schließlich a2C+a3C kann nur Nullvektor ergeben, wenn a3=-a2
Also a3=a2 (laut (1) und (2)) aber gleichzeitig auch a3=-a2
=> Wiederspruch.
Wir können auch nicht einfach a2=0 setzen, da dann auch a1 und a3 Null sind.
Somit können wir keine Koeffizienten ungleich 0 wählen um
a1A+a1B+a2B+a2C+a3A+a3C=0
zu erhalten.
und da
a1A+a1B+a2B+a2C+a3A+a3C äquvalent zu a1U+a2V+a3W
gilt diese Aussage auch für a1*U+a2*V+a3*W=0.
Damit wären U+V+W linear unabhängig.
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Ich hoffe das ist halbwegs nachvollziehbar.
Bitte mit Vorsicht genießen, da es schon zeitlich etwas her ist, seit ich mir das antun musste
Dieser Beitrag wurde 4 mal editiert, zum letzten Mal von CDW: 07.11.2006 17:50.
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07.11.2006 17:26 |
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Themenstarter
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Jo, ich denk ich habs kapiert... wir hams in der Schule nochmal gerechnet und mir ist ein Licht aufgegangen. Danke auf jeden Fall
__________________ MfG
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Odysseus (in "Troja")
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09.11.2006 17:13 |
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