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Geschrieben von Antiheld am 20.02.2005 um 18:45:

Bestimmung ganzrationaler Funktion

Hallo,
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Wir haben zurzeit in Mathe das Thema Kurvendiskussion und meine Aufgabe jetzt ist das bestimmen des Funktionstermes anhand bestimmter Eigenschaften. Die Aufgabe lautet wie folgt:
"Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die X-Achse im Koordinatenursprung und hat im Punkt P(-3|0) die Steigung 9. Bestimmen sie den Funktionsterm. "

Ich hab jetzt fast ein banzes Blatt mit Lösungsmöglichkeiten vollgeschrieben aber am ende stehe ich immer vor mehreren Variabeln. Den Koordinatenursprung deute ich als P(0|0). Bei Google hab ich auch schon gesucht nach dem Thema, habe dabei zwar auch was gefunden, ich kann dem allerdings nicht ganz folgen.

THX schonmal für Hilfe...

Cu
Anti

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Geschrieben von COCYHOK am 20.02.2005 um 18:56:

 

Ich habs auch nicht hingekriegt, das zu lösen. Hier mal mein Ansatz:
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades besteht aus 4 Unbekannten:
y=ax³+bx²+cx+d
Du hast drei Gleichungen:
I: d=0 (es existiert ein Punkt (0;0))
II: 0=-27a+9b-3c+d (es existiert ein Punkt (-3;0))
III: 9=27a-6b+c (Steigung 9 bei -3)

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Geschrieben von Black Star am 20.02.2005 um 19:12:

 

Die Gemeinheit ist beruehrt in (0,0) die x-Achse, d.h. f'(0,0) = 0.

Also zu loesen:
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
mit den 4 Gleichungen
f(0) = 0
f(-3) = 0
f'(0) = 0
f'(-3) = 9

Jetzt sollte es wohl moeglich sein.

PS:
Fuer das beruehrt habe ich auch 2 Minuten dumm vor dem Ding gesessen und gedacht "das kann nicht sein".

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Geschrieben von grandmaster S am 20.02.2005 um 19:31:

 

so, ich gebe mal nur tipps ^^

du hast eine funktion mit 4 unbekannten:

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

da die grade den punkt (0/0) beinhaltet fällt das d weg. nun hast du 3 unbekannte und bräuchtest 3 gleichungen

I. 0 = a(-3)^3+b(-x)^2+c(-3)

die steigung an der stelle -3 ist neun, sprich die erste ableitung gleich neun setzen.

II. 9= 27a-6b+c

dann kommt noch dazu, dass die kurve den ursprung berüht, nicht schneidet, das heißt im punkt (0/0) ist noch ein extremum, das ist dann deine dritte gleichung (erste ableitung = 0)

III. c=0

so nun hast du 2 gleichungen und 2 unbekannte. den rest schaffst du auch noch alleine


[edit]

ich sollte nicht während des schreibens des beitrages essen gehen ^^

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Geschrieben von Antiheld am 20.02.2005 um 19:42:

 

Also ich habs jetzt raus: f(x) = x³-2x²-15x
Danke an alle, vor allem an Black Star soweit, aber nochmal eine Frage: Warum gerade bedeutet " beruehrt in (0,0) die x-Achse" das die erste Ableitung auch (0|0) ist?

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Geschrieben von Black Star am 20.02.2005 um 20:25:

 

beruehren != schneiden.

Das heisst die muss da dranstossen, aber nicht durchgehen. Das geht nur wenn sie auf die Achse zukommt (Steigung > 0 z.B.), beruehrt (Steigung = 0) und wieder weglaeuft (Steigung < 0).
Andersrum geht natuerlich auch.

Stell dir einen Kreis vor, der eine Achse beruehrt.

Mathematischer ist die Erklaerung, dass fuer eine Beruehrung die Ableitungen gleich sein muessen.
Und bei der x-Achse ist die Steigung nunmal 0.